Question

如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知
（I））求证：⊥平面；
（II）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

（I））见解析（II）（Ⅲ）8

解：依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，
方法1：空间向量法 如图建立空间直角坐标系，

因为＝4，
则
（I），
，∴，∴
，     ∴，∴
∵ 平面 ∴ ⊥平面        （5分）
（II） 平面AEO的法向量为，设平面 B₁AE的法向量为
， 即      
令x＝2，则
∴
∴二面角B₁—AE—F的余弦值为                         （10分）
（Ⅲ）因为，∴， ∴
∵，
∴            (14 分)
方法2：
依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，，∴
（I）∵，O为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁O⊥AO， 
因为＝，则,∴
∴B₁O⊥EO，∴⊥平面；                                    （5分）
（II）过O做OM⊥AE于点M，连接B₁M，
∵B₁O⊥平面AEO，可证B₁M⊥AE，
∴∠B₁MO为二面角B₁—AE—O的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AO⊥OC，可证EO⊥AO，
在Rt△AEO中，可求， 
在Rt△B₁OM中，∠B₁OM＝90°，∴
∴二面角B₁—AE—O的余弦值为                 （10分）
（Ⅲ）因为AB=AC，O为BC的中点，所以
又平面平面，且平面平面，
所以平面, 故是三棱锥的高
∴       (14分)