Question

在△ABC中，已知tanB=

1

2

，cosA=

4 17

17

，AB边的中线长CD=2，则△ABC的面积为

6

．

Answer 1

分析：由cosA的值，及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而确定出tanA的值，再由tanB的值，利用诱导公式及两角和与差的正切函数公式求出tanC的值小于0，可得出C为钝角，根据题意画出相应的图形，过C作CE垂直于AB，在直角三角形AEC与直角三角形BEC中，根据tanA与tanB的值，利用锐角三角函数定义，设EC=x，则有AE=4x，BE=2x，表示出AB，由D为中点，表示出BD，由BD-BE表示出DE，在直角三角形ECD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与CE的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵cosA=

4 17

17

，A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

17

17

，
∴tanA=

1

4

，又tanB=

1

2

，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

6

7

＜0，
∴C为钝角，
根据题意画出相应的图形，如图所示，
过C作CE⊥AB，交AB于点E，
在Rt△AEC和Rt△BEC中，设EC=x，则有AE=4x，BE=2x，
∴AB=AE+EB=6x，又D为AB的中点，
∴BD=AD=3x，
∴ED=BD-BE=x，
在Rt△EDC中，EC=DE=x，CD=2，
根据勾股定理得：x²+x²=4，
解得：x=

2

，
则S_△ABC=

1

2

×6

2

×

2

=6．
故答案为：6

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了方程的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．