Question

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），由；由得．所以c=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）动直线l的方程为，由得．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则．由此入手能求出当且仅当时，△MAB面积的最大值．
解答：解：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则由得；
由得，
即．
所以c=1…（2分）
又因为，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求椭圆的方程为．…（4分）
（2）动直线l的方程为，
由，
得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则．…（6分）
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则．
=
=
=
=．
由假设得对于任意的恒成立，
即，
解得m=1．
故在y轴上存在定点M（0，1），
使得以AB为直径的圆恒过这个点…（10分）
这时，点M到AB的距离，
．

设2k²+1=t，
则，
得．
所以．
当且仅当时，上式等号成立．
因此，△MAB面积的最大值是．…（13分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．