Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；
（2）为避免讨论可设过F₁的直线l的方程为x=ty-1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF₂B的面积就是=，由此求出t的值，则直线l的方程可求．
解答：解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2得c=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b²=a²-c²=4-1=3．
∴椭圆C的方程为；
（2）如图，
设直线l的方程为x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把x=ty-1代入，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0
，
∴==，
∴，
解得：（舍）或t²=1，t=±1．
故所求直线方程为：x±y+1=0．
点评：本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty-1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．