题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，平面
平面
，四边形
是正方形，点
，
分别是棱
，
的中点，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）若点
在棱
上，且
，判断平面
与平面
是否平行，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）平面
与平面
不平行；详见解析
【解析】
（1）根据平面
平面
和
得
平面.，得
；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系
，根据两个半平面的法向量可求得结果；
（3）根据平面的法向量与向量
不垂直可得结论.
（1）证明：因为四边形是正方形，所以.
又因为平面平面，
平面
平面
，
所以平面.
又因为
平面，
所以.
（2）由（1）知，
，
，所以
.
又
，
，
，
所以
.所以
.
如图，以为原点，建立空间直角坐标系.
所以
，
，
，
.
则有
，
，
，
平面
的一个法向量为
.
设平面的一个法向量为
，
又
，
，
由
得
令
，则
，
.所以
.
设二面角
的平面角为
，则
.
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.
（3）平面与平面不平行.理由如下：
由（2）知，平面的一个法向量为，
，
所以
，所以
与平面不平行.
又因为
平面，
所以平面与平面不平行.
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