Question

【题目】已知存在常数，那么函数在上是减函数，在上是增函数，再由函数的奇偶性可知在上是增函数，在上是减函数.

（1）判断函数的单调性，并证明：

（2）将前述的函数和推广为更为一般形式的函数，使和都是的特例，研究的单调性（只须归纳出结论，不必推理证明）

Answer 1

【答案】见解析；见解析.

【解析】

采用换元的思想：令则;再借助复合函数单调性的判断规则和奇偶函数在对称区间上的单调性特点,即可得证.

由结论和题中的性质进行归纳总结，即可得出一般性结论.

判断如下:

在上为减函数,

在上为增函数;

再由函数的奇偶性可知,

在上为减函数,

在上为增函数.

证明:令,

则,

由题可得,

在上为减函数,

在上是增函数;

在上为增函数,

在上为减函数;

由复合函数单调性判断规则知:

在上为减函数,

在上为增函数;

由题知,

为偶函数,

偶函数在对称区间上单调性相反,

在上为减函数,

在上为增函数;

一般性结论：

函数在上为减函数,

在上为增函数;

再由函数的奇偶性可知,

当n为奇数时,

在上为增函数,

在上为减函数;

当n为偶数时,

在上为减函数,

在上为增函数;