Question

数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．记bn=

1

an- 1 2

(n≥1)．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

法一：
（I）a₁=1，故b1=

1

1- 1 2

=2；a2=

7

8

，
故b2=

1

7 8 - 1 2

=

8

3

；a3=

3

4

，
故b3=

1

3 4 - 1 2

=4；a4=

13

20

，
故b4=

20

3

．

（II）因(b1-

4

3

)(b3-

4

3

)=

2

3

×

8

3

=(

4

3

)2，(b2-

4

3

)2=(

4

3

)2，(b1-

4

3

)(b3-

4

3

)=(b2-

4

3

)2
故猜想{bn-

4

3

}是首项为

2

3

，公比q=2的等比数列．
因a_n≠2，（否则将a_n=2代入递推公式会导致矛盾）故an+1=

5+2a

16-8an

(n≥1)．
因bn+1-

4

3

=

1

an+1- 1 2

-

4

3

=

16-8an

6an-3

-

4

3

=

20-16an

6an-3

，
2(bn-

4

3

)=

2

an- 1 2

-

8

3

=

20-16an

6an-3

=bn+1-

4

3

，b1-

4

3

≠0，
故|bn-

4

3

|确是公比为q=2的等比数列．
因b1-

4

3

=

2

3

，故bn-

4

3

=

1

3

•2n，bn=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)，
由bn=

1

an- 1 2

得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)

法二：
（Ⅰ）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，代入递推关系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得

4

bn+1bn

-

6

bn+1

+

3

bn

=0，即bn+1=2bn-

4

3

，
由a₁=1，有b₁=2，所以b2=

8

3

，b3=4，b4=

20

3

．

（Ⅱ）由bn+1=2bn-

4

3

，bn+1-

4

3

=2(bn-

4

3

)，b1-

4

3

=

2

3

≠0，
所以{bn-

4

3

}是首项为

2

3

，公比q=2的等比数列，
故bn-

4

3

=

1

3

•2n，即bn=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)．
由bn=

1

an- 1 2

，得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）b2-b1=

2

3

，b3-b2=

4

3

，b4-b3=

8

3

，

2

3

×

8

3

=(

4

3

)2猜想{b_n+1-b_n}是首项为

2

3

，
公比q=2的等比数列，bn+1-bn=

1

3

•2n
又因a_n≠2，故an+1=

5+2an

16-8an

(n≥1)．
因此bn+1-bn=

1

an+1- 1 2

-

1

an- 1 2

=

1

5+2an 16-8an - 1 2

-

2

2an-1

=

16-8an

6an-3

-

6

6an-3

=

10-8an

6an-3

；
bn+2-bn+1=

1

an+2- 1 2

-

1

an+1- 1 2

=

16-8an+1

6an+1-3

-

16-8an

6an-3

=

36-24an

6an-3

-

16-8an

6an-3

=

20-16an

6an-3

=2(bn+1-bn)．
因b2-b1=

2

3

≠0，{bn+1-bn}是公比q=2的等比数列，bn+1-bn=

1

3

•2n，
从而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=

1

3

(2n-1+2n-2++21)+2
=

1

3

(2n-2)+2
=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)．
由bn=

1

an- 1 2

得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)．