Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求与夹角的大小；
（Ⅱ）设=，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由抛物线方程可求得焦点坐标，进而根据直线斜率得到l的方程与抛物线方程联立消去y，进而设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而求得，最后可求得cos＜＞得到夹角的值．
（II）根据得关于x₂和y₂的方程组，进而求得x₂=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，根据=，判断在[4，9]上是递减的，进而得到答案．
解答：解：（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3.
cos＜＞=
所以与夹角的大小为π-arccos．
解：（II）由题设知得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即
由（2）得y₂²=λ²y₁²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁（3）
联立（1）（3）解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2）或B（λ，-2），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2（x-1）或（λ-1）y=-2（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或-
由=，可知在[4，9]上是递减的，
∴，--
直线l在y轴上截距的变化范围是．
点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．