Question

13．已知函数f（x）=x²-2mx+2，x∈[-1，1]．
（1）若f（x）在[-1，1]上单调递增，求m的取值范围；
（2）f（x）的最小值是关于m的函数g（m），求g（m）的解析式和g（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性结合对称轴和区间的关系进行求解即可求m的取值范围；
（2）讨论对称轴和区间的关系即可求出函数的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2mx+2，x∈[-1，1]．
∴函数的对称轴为x=m，
若f（x）在[-1，1]上单调递增，
则m≤-1，
即m的取值范围是（-∞，-1]；
（2）f（x）的最小值是关于m的函数g（m），求g（m）的解析式和g（m）的最大值．
①若 m＜-1，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
∴最小值g（m）=f（-1）=3+2m．
②若-1≤m≤1，此时当x=m时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（m）=m²-2m²+2=2-m²．
③若m＞1，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴最小值g（m）=f（1）=3-2m．
综上g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{3+2m，}&{m＜-1}\\{2-{m}^{2}，}&{-1≤m≤1}\\{3-2m，}&{m＞1}\end{array}\right.$，
对应的图象为：
则由图象可知当m=0时，函数g（m）的最大值为g（0）=2．

点评 本题主要考查一元二次函数的图象和性质，根据对称轴和区间的关系是解决本题的关键．