Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，且BC=2AB=2AD=2，侧面PAD为等边三角形，PB=PC=．
（1）求证：PC⊥平面PAB；（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=AD=1，BC=2，
∴∠ABC=60°，AC=，AC⊥AB．
在△PAC中，PA=1，AC=，PC=，∴PC⊥PA．
在△PBC中，∵PB=PC=，故 PB²+PC²=BC²，∴PC⊥PB．
又 PA∩PB=P，∴PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S_△ADC：S_△ABC=1：2，
∴V_P-ABC=2V_P-ADC，∴V_P-ABCD=．
又 V_P-ABC=V_C-PAB=•AB•AP•PC==．
∴V_P-ABCD===．
分析：（1）利用勾股定理证明 PC⊥PA，PC⊥PB，再利用直线与平面垂直的判定定理 证明 PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S_△ADC：S_△ABC=1：2，利用 V_P-ABCD=，且 V_P-ABC=V_C-PAB，求得V_P-ABCD的值．
点评：本题考查证明线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定定理的应用，根据题意得到V_P-ABCD=，且V_P-ABC=V_C-PAB，是解题的难点和关键．