Question

设△ABC顶点坐标，圆M为△ABC的外接圆．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点（1，3）且与圆M相交于P、Q，弦PQ长为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设圆M的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将点代入可得方程组，由此可得圆M的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与x轴垂直，则l：x=1，可知符合题意；若直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0，求得点M（0，-1）到l的距离，利用弦PQ长为，即可求得直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
因为圆M过点，所以，…（4分）
解得，所以圆M的方程为x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4． （7分）
（Ⅱ）若直线l与x轴垂直，则l：x=1，
由，得，所以PQ=，符合题意． …（9分）
若直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0
点M（0，-1）到l的距离
∴PQ=，…（12分）
∴，此时l方程为
综上所述，直线l的方程是x=1或． …（15分）
点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相交的弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，利用圆的特殊性．