题目内容

如图，三棱柱ABC-DEF的侧面为全等的矩形，且底面边长为 $数学公式$ ．
（1）若侧棱长为2，求直线AE与BF所成的角；
（2）若直线AE⊥BF，求侧棱的长．

解：建立如图所示坐标系
（1）根据题意有：A（0，0，0），E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），F（0， $\text{[math]}$ ，2）
∴ $\text{[math]}$
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞=0
∴直线AE与BF所成的角为90^°．
（2）设侧棱长为：x（x＞0）
则有：A（0，0，0），E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，x），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），F（0， $\text{[math]}$ ，x）
∴ $\text{[math]}$
∵直线AE⊥BF
∴ $\text{[math]}$ =0
∴x²=4
∴x=2
故侧棱的长为2
分析：（1）先求得相关点：A（0，0，0），E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），F（0， $\text{[math]}$ ，2）的坐标，进而求得相关向量 $\text{[math]}$ 的坐标，再用向量的夹角公式求解．
（2）按照（1）的思路相关点的竖坐标用x表示，从而向量的竖坐标也用x表示，因为两直线垂直，所以相应向量的数量积为零，从而求得x的值．
点评：本题主要考查空间几体的结构特征及向量法研究空间角和线线垂直的问题，同时还考查了转化思想和运算能力，属中档题．