Question

已知函数f（x）=ln x-a²x²+ax（a∈R）．若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，将原问题转化为f′（x）≤0在[1，+∞）恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．

解答：解：∵f′（x）=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞

1

a

，
∴

1

a

≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-

1

2a

，
∴-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

综上得：a∈（-∞，-

1

2

]∪[1，+∞）（12分）

点评：本小题主要考查函数利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．