Question

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁∈（0，），求证：h（x₁）-h（x₂）＞-ln2；
（3）设r（x）=f（x）+g（），若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）≥g（x），知a≤x-，（x＞0）．设∅（x）=x-，利用导数性质能求出a的范围．
（2）由h（x）=x²-ax+lnx，知h′（x）=，（x＞0），故，由，知x₂∈（1，+∞），且，由此能够证明．
（3）由r（x）=f（x）+g（），知=，所以1-a+＞k（1-a²），设∅（a）=1-a++k（a²-1），a∈（1，2），∅（1）=1，利用分类讨论思想能求出实数k的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，f（x）≥g（x），
∴a≤x-，（x＞0）．（1分）
设∅（x）=x-，∅′（x）=，（2分）
当x∈（0，1）时，∅′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，∅′（x）＞0，
∴∅（x）≥∅（1）=1，∴a∈（-∞，1]．（4分）
（2）h（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=，（x＞0）（5分）
∴，
∵，∴x₂∈（1，+∞），且，（i=1，2），（6分）
∴h（x₁）-h（x₂）=（）-（）
=（-）-（-）
=
=，（x₂＞1）．（8分）
设u（x）=x²--ln2x²，x≥1，
则≥0，∴u（x）＞u（1）=．
即．（10分）
（3）∵r（x）=f（x）+g（），
∴
=，
，
∴r（x）在[，+∞）上为增函数，∴r（x）_max=r（1）=1-a+，
所以1-a+＞k（1-a²），（12分）
设∅（a）=1-a++k（a²-1），a∈（1，2），∅（1）=0，
有∅（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，
∵∅′（x）=（2ka-1+2k）．
①k=0时，∵，∴∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（13分）
②k＜0时，∵，∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（14分）
③k＞0时，∵，
若，则∅（a）在区间（1，min{2，}）上递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（15分）
综上得，解得k≥，即实数k的取值范围为[，+∞）．（16分）
点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．