Question

已知⊙O：x²+y²=a²，A（-a，0），B（a，0），P₁、P₂是⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP₁与直线BP₂的交点P的轨迹方程为

1. A.
   x²+y²=2a²
2. B.
   x²+y²=4a²
3. C.
   x²-y²=4a²
4. D.
   x²-y²=a²

Answer 1

D
分析：求出直线AP₁与直线BP₂的方程，将两方程联立解出其交点P的坐标满足的方程即可．
解答：设P₁（x₀，y₀），则P₂（x₀，-y₀），则直线AP₁的方程为：y=（x+a） ①
直线BP₂的方程为：y=（x-a） ②
①×②得
y²=（x²-a²） ③
又∵P₁（x₀，y₀）在圆上，
∴x₀²+y₀²=a²即a²-x₀²=y₀²
所以③式可化为：y²=（x²-a²）=x²-a²
即x²-y²=a²，这就是P点的轨迹方程．
故应选D．
点评：本题考查求两直线交点的轨迹方程，在设出两个直线的方程联立求交点满足的方程时，用两式相乘的方法构造出可以整体消元得到点P的坐标满足方程的形式，消元的技巧较强，答题者应细心体会．