Question

平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,点E、F分别是线段AB、CD的中点，求证：EF∥β.

Answer 1

分析一：可考虑由线线平行证明线面平行，即在β内找与EF平行的直线，而AB、CD的中点E、F使我们联想到中位线.?

证法一：如图(1)，设E与CD确定平面CEF，它与平面β交于GD,AB与CG确定的平面交α于AC，交β于GB，则由面面平行的性质定理可得AC∥GB.?

∵AE=BE,∴CE=GE.?

又∵F是CD的中点，?

∴EF是△CGD的中位线，即EF∥GD，GDβ.?

∴EF∥β.

分析二：证明线面平行，除了由线线平行外，还可利用面面平行证明，即过EF找或作一个平面，使之与β平行，E、F分别是AB、CD的中点仍然是解决问题的重要突破口.

证法二：如图(2)，连结AD，取AD中点G，连结EG、FG.?

∵EG∥BD,BDβ,∴EG∥β.同理，GF∥α.?

设平面ADC交β于DH.∵α∥β,∴AC∥DH.?

∴FG∥DH.∴GF∥β.?

∵EG∩GF=G,∴平面EGF∥β.?

∵EF平面EGF,∴EF∥β.