Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，F₁是左焦点，若∠PF₁Q=90°，则双曲线的离心率是（　　）

• A、

  2

• B、1+

  2

• C、2+

  2

• D、3-

  2

Answer 1

分析：根据过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，得到P，Q，F₂的横坐标都是c，且P和Q关于F点对称的，设出点P，Q的坐标，∠PF₁Q=90°，根据

F1P

•

F1Q

=0求得关于a，b，和c的一个方程，根据c2=a2+b2，消去b，得到关于a，c的一个方程，即可解得双曲线的离心率．

解答：解：由于PQ过F2，所以P，Q，F₂的横坐标都是c，且由双曲线的对称性可知，P和Q关于F点对称的，也就是P和Q的纵坐标是相反数，
那么设P（c，y₀），Q（c，-y₀），而F₁（-c，0）
那么

F1P

=（2c，y₀），

F1Q

=（2c，-y₀）
∵∠PF₁Q=90°，∴

F1P

•

F1Q

=0，
即（2c，y₀）•（2c，-y₀）=0
∴4c²-y₀²=0，
由于P在双曲线上，所以P满足

c2

a2

-

y02

b2

=1，
又因为

c2

a2

=e²，
把上式变形，得y₀²=b²（e²-1）
代入4c²-y₀²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同时除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±2

2

，∵e＞1
∴e²═3+2

2

=（1+

2

）²
∴e=1+

2

故选B．

点评：此题是个中档题，考查向量数量积的坐标运算和双曲线的定义，体现了数学结合的思想方法，求双曲线的离心率即寻求关于a，c的一个齐次式，解此方程即可求得结果，体现方程的方法．