Question

等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d≠0，前n项和为S_n，已知数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

an

2kn-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．若存在一个最小正整数M，使得当n＞M时，S_n＞4T_n（n∈N^*）恒成立，试求出这个最小正整数M的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，有a₂²=a₁•a₅，计算可得等差数列的公差，又由首项a₁=1，可得数列{a_n}的通项公式，结合题意，可得等比数列a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kn，…的公比q=3，进而可得a_kn=3^n-1，根据{a_n}的通项公式可得2k_n-1=3^n-1，进而可得{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据b_n=

an

2kn-1

，利用错位相减法可求得数列{b_n}的前n项和为T_n，确定T_n单调递增，关键Sn=n2在n∈N^*时单调递增，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由a₂²=a₁•a₅，得（1+d）²=1•（1+4d），解得d=2，
∴a_n=2n-1，
∴a_kn=2k_n-1，
在等比数列中，公比q=

a2

a1

=3，∴a_kn=3^n-1，
∴2k_n-1=3^n-1，解得k_n=

3n-1+1

2

．
（Ⅱ）b_n=

an

2kn-1

=

2n-1

3n-1

，则Tn=

1

30

+

3

31

+…+

2n-1

3n-1

，

1

3

T_n=

1

31

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
两式相减得：

2

3

T_n=1+

2

31

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

，
∴T_n=3-

n+1

3n-1

∵T_n+1-T_n=

2n+1

3n

＞0，
∴T_n单调递增，∴1≤T_n＜3．
又Sn=n2在n∈N^*时单调递增．
且S₁=1，4T₁=4；S₂=4，4T₂=8；S₃₌₉，4T₃=

92

9

；S₄=16＞12，4T₄＜12；…．
故当n＞3时，S_n＞4T_n恒成立，则所求最小正整数M的值为3．

点评：本题考查等比数列的性质以及错位相减法的应用，错位相减法是重要的数列求和方法，需要熟练掌握．