Question

    如下图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.

    (1)试求y关于h的函数解析式；

    (2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；

    (3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)显然h＞1，连接AQ，     ∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，     ∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,     ∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.     ∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,,     ∴,即.     ∴.     (2)y==     =+≥2,     当且仅当,即h=时，等号成立.     此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.     (3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,     则(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP－ADQ .     ∵VP－ADQ=S△ADQ·PA=,S△PAQ=1,     S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,     ∴r=.