题目内容

某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
23
，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？
分析：（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x1和x2．由x1=1，2，3，P(x1=1)=
C
1
4
C
3
6
=
1
5
，P（x1=2）=
C
2
4
C
1
2
C
3
6
=
3
5
，P（x1=3）=
C
3
4
C
3
6
=
1
5
，由此能求出甲考生正确完成题数x1的概率分布列；x2=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-
2
3
)3=
1
27
，P（x2=1）=
C
1
3
•
2
3
•(1-
2
3
)2=
2
9
，P(x2=2)=
C
2
3
•(
2
3
)2•(1-
2
3
)=
4
9
，P(x2=3)=(
2
3
)3=
8
27
，由此能求出乙考生正确完成题数x2的概率分布列．
（2）分别求出Ex1和Ex2，Dx1和Dx2，由Ex1=Ex2，知甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．由Dx1＜Dx2，知x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的实际操作能力比乙生强．
解答：（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x1和x2．
∵x1=1，2，3，
P(x1=1)=
C
1
4
C
3
6
=
1
5
，
P（x1=2）=
C
2
4
C
1
2
C
3
6
=
3
5
，
P（x1=3）=
C
3
4
C
3
6
=
1
5
，
∴甲考生正确完成题数x1的概率分布列为
x1 1 2 3
P  
1
5
  
3
5
  
1
5
∵x2=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-
2
3
)3=
1
27
，
P（x2=1）=
C
1
3
•
2
3
•(1-
2
3
)2=
2
9
，
P(x2=2)=
C
2
3
•(
2
3
)2•(1-
2
3
)=
4
9
，
P(x2=3)=(
2
3
)3=
8
27
，
∴乙考生正确完成题数x2的概率分布列为：
x2 0 1 2 3
P  
1
27
  
2
9
  
4
9
  
8
27
（2）∵Ex1=1×
1
5
+2×
3
5
+3×
1
5
=2，
Ex2=0×
1
27
+1×
2
9
+2×
4
9
+3×
8
27
=2，
∴Ex1=Ex2，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵Dx1=(1-2)2×
1
5
+(2-2)2×
3
5
+(3-2)2×
1
5
=
2
5
，
Dx2=(0-2)2×
1
27
+(1-2)2×
2
9
+(2-2)2×
4
9
+(3-2)2×
8
27
=
2
3
，
∴Dx1＜Dx2，这表明x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．解题时要认真审题，注意数学期望和方差在实际问题中的灵活运用．
练习册系列答案
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某校设计了一个实验学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过考查．已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
23
，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲通过实验考查的概率；
（Ⅱ）求乙考生至少正确完成2道题的概率．
（2011•西安模拟）某校设计了一个实验学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过考查．已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
23
，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲通过实验考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两考生正确完成题数x1，x2的概率分布列；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是数学公式，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？
某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？

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