Question

在△ABC中，已知sinB=cosAsinC．
（Ⅰ）判定△ABC的形状；
（Ⅱ）若

AB

•

AC

=9，△ABC的面积等于6，求△ABC中∠ACB的平分线长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由已知sinB=cosAsinC，可得

b

2R

=

b2+c2-a2

2bc

•

c

2R

，即b²+a²=c²，可得
△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由

AB

•

AC

=9以及cosA=

b

c

，求得b的值．再由△ABC的面积等于6求得a=4，可得c=5，sinA=

4

5

．
设∠ACB的平分线CM交AB边于M，在△AMC中，
由正弦定理得

CM

sinA

=

3

sin(1350-A)

，由此求得CM的值．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，可得

b

2R

=

b2+c2-a2

2bc

•

c

2R

，（4分）
即b²+a²=c²，故△ABC是直角三角形．…（5分）
（Ⅱ）由

AB

•

AC

=9，得bc•cosA=9，又cosA=

b

c

，∴b=3．（7分）
∵△ABC的面积等于6，即

1

2

ab=6，∴a=4（9分），可得c=5，∴sinA=

4

5

．
设∠ACB的平分线CM交AB边于M，
在△AMC中，由正弦定理得

CM

sinA

=

3

sin(1350-A)

，（10分）∴CM=

12

7

2

．（13分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．