Question

如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．                                                               

依题意，记A（－c，0），C（，h），E（x₀, y₀），

其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得

x₀== ，．

设双曲线的方程为，则离心率.

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

，                      ①

．     ②                   

由①式得    ，                    ③

将③式代入②式，整理得

，

故    ．                                  

由题设得，．解得．

所以双曲线的离心率的取值范围为．