Question

某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20)从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.

(1)作图表示满足上述条件的x、y范围;

(2)如果已知所需的经费p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元),那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

Answer 1

剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围.

解：(1)依题意得v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100.∴3≤x≤10,≤y≤.      ①

    由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间,即9≤x+y≤14.   ②

    因此,满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

    (2)∵p=100+3·(5-x)+2·(8-y),

    ∴3x+2y=131-p.

    设131-p=k,那么当k最大时,p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小.

    此时,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.