Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2；
（Ⅲ）在正数数列{c_n}中，设，求数列{lnc_n}中的最大项

Answer 1

（Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴（n≥2，n∈N^*）
即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有（6分）
∴=＜2（9分）
（Ⅲ）解：由（c_n）ⁿ⁺¹=a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=
令
∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．
又（14分）
分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．
（Ⅱ）对任意正整数n，总有由此可知=＜2．
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=令再由函数的单调性可求出数列{lnc_n}中的最大项
点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．