Question

如图，Rt△ABC在平面α内，点P在平面α外，P到直角顶点A的距离为8，到两条直角边的距离均为，求：

(1)P到平面α的距离；

(2)PA与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

[解析](1)如题图，过P作PO⊥α于点O，作OD⊥AB于点D，连结PD． 　　则PO⊥AB，于是AB⊥平面POD，从而AD⊥PD，故PD＝，进而． 　　同理，作OE⊥AC于E点，则AE＝． 　　∴矩形ADOE为正方形． 　　∴． 　　∴，即P到平面α的距离为6． 　　(2)由(1)可知，∠PAO便是所求PA与平面α所成的角． 　　sin∠PAO＝． 　　[分析](1)要求P到平面α的距离，于是我们过P作PO⊥α于点O，利用勾股定理得到AD和AE的长相等，从而知ADOE为正方形，易求得AO的长，从而在Rt△PAO中利用勾股定理得到PO的长度即为P到平面α的距离． 　　(2)容易证明∠PAO即为PA与平面α所成角，可在Rt△PAO中应用勾股定理求得．