题目内容

过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为
 
．
分析：把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出
2c
b2
a
=
3
整理得
3
e2+2e-
3
=0，进而求得椭圆的离心率e．
解答：解：由题意知点P的坐标为（-c，
b2
a
）或（-c，-
b2
a
），
∵∠F1PF2=60°，
∴
2c
b2
a
=
3
，
即2ac=
3
b2=
3
（a2-c2）．
∴
3
e2+2e-
3
=0，
∴e=
3
3
或e=-
3
（舍去）．
故答案为：
3
3
．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
（2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．
已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求椭圆的方程；
（2）求k的取值范围．
（如图）过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆
x2
5
+y2=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
a
b
的值为
1+
5
2
1+
5
2
．

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