Question

【题目】如图，几何体中， 平面， 是正方形， 为直角梯形， ， ， 的腰长为的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（I）证明过程见解析；（Ⅱ）二面角的大小为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明，然后证明平面，推出平面，利用直线与平面垂直的性质定理证明；（Ⅱ）建立空间立体直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求出法向量之间的夹角即可求出二面角的大小．

试题解析：

（I）证明：因为是腰长为的等腰直角三角形，所以.

因为平面，所以.

又，所以.

又，所以平面.

所以.

（Ⅱ）解：以点为原点， 分别为轴建立如下图

所示的空间直角坐标系：

因为是腰长为的等腰直角三角形，

所以， .

所以,

.

所以.

则点.

则.

设平面的法向量为，则

由得得得

令，得是平面的一个法向量；

易知平面的一个法向量；

设二面角的大小为，则，

又，解得.

故二面角的大小为.