Question

如图．过⊙O的弧AB的中点C作弦CD，CE分别与AB相交于点F，G．
求证：CD•CF=CE•CG．

Answer 1

证明：连接AD，DE，EB，
由A，D，E，B四点共圆，得∠ADE+∠B=180°
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE
∴∠ADC+∠CDE+∠B=180°①
∵点C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠BEC ②
由①②，得∴∠BEC+∠CDE+∠B=180°，即（∠BEC+∠B）+∠CDE=180°，∴∠EGA+∠CDE=180°，则四边形DFEG内接于圆
∵直线CFD，CGE是该圆的两条割线
∴CD×CF=CG×CE
分析：分析知，若能证明四点DFGE共圆，则可以有割线定理证得CD•CF=CE•CG，由北证明目标确定，在图形中连接DE，证明四点共圆即可．
点评：本题考查与圆有关的比例线段，解本题的关键是由所证的结论观察出其成立的等价条件四点DFGE共圆，在几何证明中确定好解决问题的方向对顺利解题很关键．