Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕，将△ADE向上折起，使D到P，且PC=PB。

（1）求证：PO⊥面ABCE；
（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值。

Answer 1

解：（1）PA=PE，OA=OE， ∴PO⊥AE  ① 取BC的中点F，连OF，PF，如图 ∴OF∥AB， ∴OF⊥BC ∵PB=PC ∴BC⊥PF ∴BC⊥面POF 从而BC⊥PO  ② 由①②可得PO⊥面ABCE。 （2）作OG∥BC交AB于G，则OG⊥OF 如图建立直角坐标系 则A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0）， 设平面PAB的法向量为n=（x，y，z）， 则 ∴AC与面PAB所成角θ的正弦值。