Question

已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+

1

2

x2，a∈R
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数定义域，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，等价于f（x）_min≥0，分a＞0，a≤0两种情况求f（x）的最小值即可，用导数易求函数的最小值；

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
当0＜a＜1时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∝）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；
（2）由于f(1)=-

1

2

-a，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的；
当a≤0时，易得函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，-

1

2

）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，恒成立问题常常转化为求函数的最值处理．