Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M为棱AA₁的中点．
（1）证明：BM∥平面A₁ED；
（2）证明：平面A₁DE⊥平面A₁AE．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明．（2）利用面面垂直的判定定理证明．

解答：解：（I）连结AD₁交AD于O，则O为中点，
所以OM∥AD，OM∥BE，且OM=

1

2

BC=BE，
所以四边形BEOM为平行四边形，所以BM∥OE，
因为BM∥OE，BM?平面A₁ED，OE?平面A₁ED；
所以BM∥平面A₁ED；
（Ⅱ）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2

∴AE⊥DE

，
∵A1A⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥DE，又因为AA₁∩AE=A，
所以DE⊥面A₁AE，
又DE?平面A₁DE，
所以平面A₁DE⊥平面A₁AE．

点评：本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．