Question

已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线

1. A.
   x=对称
2. B.
   x=对称
3. C.
   x=对称
4. D.
   x=π对称

Answer 1

C
分析：利用两角和的正弦函数化简函数y=sinx+acosx为y=sin（x+φ），tanφ=a，通过函数的图象关于x=对称，推出+φ=kπ+，k∈z，可求得φ=kπ-，由此可求得a=tanφ=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．
解答：y=sinx+acosx变为y=sin（x+φ），（令tanφ=a）
又函数的图象关于x=对称，
∴+φ=kπ+，k∈z，可求得φ=kπ-，
由此可求得a=tanφ=tan（kπ-）=-，
函数y=-3sinx+cosx=2sin（x+θ），（tanθ=-）
其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，
即x=kπ+-θ
又tanθ=-，故θ=k₁π-，k₁∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k₁）π++=（k-k₁）π+，k-k₁∈z，
当k-k₁=1时，对称轴方程为x=
故选C．
点评：本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．