Question

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为

1. A.
   锐角
2. B.
   钝角
3. C.
   直角
4. D.
   不能确定

Answer 1

A
分析：方法一：使用余弦定理，由已知求出 ，计算cosB=的符号，进而可求B的范围
方法二：反证法，假设 ，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0，结合已知进行推导可求
方法三：反证法由题意可得=，故b边不是最大边，也不是最小边．假设B≥，则最大边所对的角大于 ，这与三角形内角和相矛盾，从而可得
解答：方法一：由题意可得 ．
∴，
∵=．
即cosB=＞0
故
法2：反证法：假设
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则
可得 与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（法三）∵△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，
∴=，故b边不是最大边，也不是最小边．
若B≥，则最大边所对的角大于 ，这与三角形内角和相矛盾，故 ．
点评：本题主要考查了利用余弦定理解三角形，其中方法一 使用余弦定理直接求解，方法二、三，使用反证法，方法二，三比较简单．