Question

16．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，-1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；
（2）把参数方程分别化为普通方程，联立方程得到关于x的一元二次方程，利用两点间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x-4y，即（x-1）²+（y+2）²=5，
∵直线l过点（1，-1），且该点到圆心的距离为$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1+2）^{2}}$＜$\sqrt{5}$，
∴直线l与曲线C相交．
（2）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2x-4y}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
则|AB|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．即|AB|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、弦长公式、直线与曲线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．