Question

（本小题满分16分）

对于函数，如果是一个三角形的三边长，那么也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．
对于函数，如果是任意的非负实数，都有是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．
（Ⅰ）判断三个函数“（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（Ⅱ）若函数是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）k的取值范围是
（Ⅲ）略

．解：（I）对于上是增函数，不妨设

对于上是增函数，不妨设
则
所以
故是“保三角形函数”  ………………4分
对于是一个三角形的三边长，
但因为，
所以不是三角形的三边长，故
不是“保三角形函数” ………………6分
（II）法一：

①当，适量题意 ………………8分
②当
所以
 …………9分
③当
所以
从而当
由
综上所述，所求k的取值范围是 ………………11分
法二：
，
①当适合题意；
②当上递增，在上递减，而

③当上递增，而
且当
（以下同法一，按此方法求解的，类似给分）
（III）①因为，
使得显然这样的不是一个三角形的三边长，
故不是“恒三角形函数” ………………13分
②因为，令，
且
所以是一个三角形的三边长，但因为
不是一个三角形的三边长，
故也不是“保三角形函数” ………………16分
（说明：也可以先证不是“保三角形函数”，然后据此知也不是“恒三角形函数”）