Question

(2006北京宣武模拟)已知分别是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以为直径的圆，直线l∶y=kx＋b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．

(1)根据条件求出b和k满足的关系式；

(2)向量在向量方向的投影是p，当时，求直线l的方程；

(3)当，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围(其中p为(2)中所述)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)双曲线的两上焦点分别是，，从而圆O的方程为．由于直线y=kx＋b与圆O相切，所以有． 即为所求． (2)设、，则由消去y并整理，得 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　(*) 其中． 根据韦达定理，得 ，． 从而 ． 又由(1)知， ∴． 又由于在方向上的投影为p， 所以． ∴． ∴． 即， ∴，∴，∴，此时方程(*)满足Δ＞0． 所以直线l的方程为 或． (3)由(2)得， 即． ∴，． 根据弦长公式，得 ． ， 而2≤m≤4，此时方程(*)满足Δ＞0． ， ， ∴△AOB面积的取值范围是．