题目内容
已知函数f（x）=log3（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记an=3f（n）（n∈N*），是否存在正数k，使得(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 2n+1 |
分析：（1）由题意得
，解得 a=2，b=-1，即可求出f（x）=log3（2x-1），
（2）先根据条件求出数列{an}的通项公式；把(1+
)(1+
)…(1+
)≥k
对一切n∈N*均成立转化为k≤
（1+
）（1+
）…（1+
）恒成立；再通过构造F（n）=
（1+
）（1+
）…（1+
），利用其单调性求出F（n）的最小值即可求出k的最大值．
|
（2）先根据条件求出数列{an}的通项公式；把(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 | ||
|
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
解答：解：（1）由题意得
，解得 a=2，b=-1，所以f（x）=log3（2x-1），
（2）因为an=3log3(2n-1)=2n-1．
假设存在正数k，使得(1+
)(1+
)…(1+
)≥k
对一切n∈N*均成立，
则k≤
（1+
）（1+
）…（1+
）恒成立．
记F（n）=
（1+
）（1+
）…（1+
）．
则F（n+1）=
（1+
）（1+
）…（1+
）（1+
）．
∵
=
=
＞
=1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n=1时F（n）最小，最小值F（1）=
．
所以k≤
．即k的最大值为
．
|
（2）因为an=3log3(2n-1)=2n-1．
假设存在正数k，使得(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 2n+1 |
则k≤
| 1 | ||
|
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
记F（n）=
| 1 | ||
|
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
则F（n+1）=
| 1 | ||
|
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
∵
| F(n+1) |
| F(n) |
| 2n+2 | ||
|
| 2(n+1) | ||
|
| 2(n+1) |
| 2(n+1) |
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n=1时F（n）最小，最小值F（1）=
2
| ||
| 3 |
所以k≤
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查数列知识和函数的综合问题．解决第二问的关键在于利用对数和指数的运算性质得到an=3log3(2n-1)=2n-1．
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