Question

表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为    ．

Answer 1

【答案】分析：表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直径，由此问题归结为求此四点组成的正方形的边长，直径是此边长的倍
解答：解：由题意表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，故每个侧面三角形的面积都是且为等边三角形，设其边长为a，则有=，解得a=1
故此四点组成的正方形的对角线的长为，球的半径是
所以此球的体积为=
故答案为
点评：本题考查球的表面积与体积公式，解此题的关键是理解“表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，”这个题设条件，得出球的直直径恰好是正八面体中间那个正方形的对角线的长度．本题考查了求的体积公式，三角形的面积公式，对几何空间想像能力要求较高，能想像出此几何体的立体影像．