Question

（2013•海口二模）过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F₁作垂直于双曲线渐近线的直线，以右焦点F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆和直线相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  3

• D．

  5

Answer 1

分析：设双曲线的一条渐近线为l：y=-

b

a

x，过F₁作垂直l的直线切以右焦点F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆于M点．Rt△F₁F₂M中，利用三角函数的定义，算出∠F₁F₂M=60°从而得到直线l的倾斜角为120°，算出b=

3

a，由此即可算出该双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线的一条渐近线为l：y=-

b

a

x，过F₁作垂直l的直线
切以右焦点F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆于M点，如图所示
∵圆F₂与直线相切于点M，∴F₂M⊥F₁M且|F₂M|=c
∵Rt△F₁F₂M中，|F₁F₂|=2c
∴cos∠F₁F₂M=

|MF2|

|F1F2|

=

1

2

，可得∠F₁F₂M=60°
因为MF₂与直线l平行，所以直线l：y=-

b

a

x的倾斜角为120°，可得-

b

a

=tan120°=-

3

∴b=

3

a可得c=

a2+b2

=2a
由此可得双曲线的离心率为e=

c

a

=

2a

a

=2
故选：B

点评：本题给出过双曲线左焦点F₁作垂直于双曲线渐近线的直线与以右焦点F₂为圆心、|OF₂|为半径的圆相切，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线的倾斜角和三角函数的定义等知识，属于中档题．