Question

已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，若以F₂为圆心，b－c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)．

(1)证明：椭圆上的点到F₂的最短距离为a－c；

(2)求椭圆的离心率e的取值范围；

(3)设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)假设椭圆上的任一点P(x0，y0) 　　则|PF2|2＝(x0－c)2＋y02由椭圆方程易得|PF2|2＝x－2cx0＋c2＋b2，显然当x0＝a时，|PF2|最小值为a－c．4分 　　(2)依题意知当且仅当取得最小值时，取最小值 　　∴，又因为b－c＞0， 　　得；8分 　　(3)依题意Q点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程得 　　设，则，，；10分 　　又OA⊥OB，∴·＝0， 　　∴，即，直线的方程为 　　圆心到直线的距离 　　由图象可知 　　；12分 　　由得∴；14分