Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点，且DG=λDF（0＜λ≤1）．

（1）求证：对任意的λ∈（0，1），都有GN⊥AC；
（2）当λ=

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2

时，求证：AG∥平面FMC．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明FD⊥平面ABCD、AC⊥平面GDN，即可证明AC⊥GN；
（2）当λ=

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2

时，G是DF的中点．取DC的中点S，连接AS，CS，证明平面AGS∥平面FMC，即可证明AG∥平面FMC．

解答：证明：（1）由题意知，该几何体是一个三棱柱，且CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，DF=AD=DC=a，
如图，连接BD，
∵N为AC与BD的交点，且AC⊥BD．
∴FD⊥平面ABCD，
∵G为FD上的点，∴GD⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴GD⊥AC，
∵BD∩GD=D，∴AC⊥平面GDN，
∵GN?平面GND，∴AC⊥GN．
（2）当λ=

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时，G是DF的中点，
如图，取DC的中点S，连接AS，CS，
∵M是AB的中点，∴AS∥MC，GS∥FG，
∵AS∩GS=S，FC∩CM=C，∴平面AGS∥平面FMC，
∵AG?平面AGS，∴AG∥平面FMC．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．