Question

对于某些正整数n，存在A₁，A₂，…，A_n为集合{1，2，……，n}的n个不同子集，满足下列条件：对任意不大于n的正整数i，j，①且每个A_i至少含有四个元素；②i∈A_j的充要条件是(其中i≠j)．为了表示这些子集，作n行n列的数表，规定第i行第j列的数为

(1)求该数表中每列至多有多少个－1．

(2)用n表示该数表中1的个数，并证明n≥9

(3)请构造出集合{1，2，……，9}的9个不同子集A₁，A₂，…A₉，使得A₁，A₂，…A₉，满足题设(写出一种答案即可)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)根据①每个至少含有四个元素，得数表中每列至少有4个1， 　　所以数表中每列至多有n－4个－1． 　　(2)①中的表明数表的一条对角线上数字都是－1，②表明除这条对角线以外，和恰好一个为－1，而另一个为1，即数表中除此对角线以外，－1和1各占一半，所以数表中共有个1． 　　∵数表中每列至少有4个1 　　∴整个数表(共n列)至少有4n个1． 　　∴解得 　　(3)可以构造如：＝{2，3，4，5}，＝{3，4，5，6}，＝{4，5，6，7}， 　　＝{5，6，7，8}，＝{6，7，8，9}，＝{1，7，8，9} 　　＝{1，2，8，9}，＝{1，2，3，9}，＝{1，2，3，4}