Question

已知数列满足: ,（为正整数）.

（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，求数列{}的前n项和

（3）  比较与的大小，并证明之.

Answer 1

已知数列满足: ,（为正整数）.

（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，求数列{}的前n项和

（3）  比较与的大小，并证明之.

【解】：（1）由,  得: ,

因       ，即当时，,

又,，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.

∴   

（2）由（Ⅰ）得，,  

     

两式错位相减得到：

，

(3)………（*）

于是，确定与的大小关系等价于比较与的大小,由 可猜想当时，，证明如下： 　

证法1：（1）当时，由上验算显示成立。

（2）假设当时不等式成立，即

则当时，

所以，当时猜想也成立,综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有

综上所述，当时，；当时，

证法2：

综上所述，当时，；当时，.