Question

如图所示，F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F₂有与OM垂直的直线交椭圆于P、Q两点，若S△PF1Q=20

3

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）确定M的坐标，利用OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，得到斜率相等，由此即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）得a=

2

c，b=c，联立方程组

y=- 2 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，消元可得5y²-2

2

cy-2c²=0，利用韦达定理，计算三角形的面积，利用已知条件即可求得椭圆的方程．

解答：解：（1）∵M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，∴M（c，

b2

a

）
∵OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
∴

b2

ac

=

b

a

∴b=c
∴e=

c

a

=

2

2

（2）由（1）得a=

2

c，b=c
联立方程组

y=- 2 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，消元可得5y²-2

2

cy-2c²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=

2 2 c

5

，y₁y₂=-

2c2

5

∴|y₁-y₂|=

4 3

5

c
∴S△PF1Q=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

×2c×

4 3

5

c=20

3

∴c²=b²=25，a²=50
∴椭圆的方程为

x2

50

+

y2

25

=1

点评：本题考查椭圆的性质，考查椭圆的标准方程，联立方程组，利用韦达定理，计算三角形的面积是关键．