题目内容
（2013•长春一模）若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则
=
．
| S1 |
| S2 |
6
| ||
| π |
6
| ||
| π |
分析：设正四面体ABCD的棱长为a，利用体积分割法计算出内切球半径r=
a，从而得到S2关于a的式子．利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积S1关于a的式子，由此不难得出S1与S2的比值．
| ||
| 12 |
解答：解：设正四面体ABCD的棱长为a，可得
∵等边三角形ABC的高等于
a，底面中心将高分为2：1的两段
∴底面中心到顶点的距离为
×
a=
a
可得正四面体ABCD的高为h=
=
a
∴正四面体ABCD的体积V=
×S△ABC×
a=
a3，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4×
×S△ABC×r=
a3，解得r=
a
∴内切球表面积S2=4πr2=
∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=
a3，
∴
=
=
故答案为：
∵等边三角形ABC的高等于
| ||
| 2 |
∴底面中心到顶点的距离为
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
可得正四面体ABCD的高为h=
a2-
|
| ||
| 3 |
∴正四面体ABCD的体积V=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 12 |
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4×
| 1 |
| 3 |
| ||
| 12 |
| ||
| 12 |
∴内切球表面积S2=4πr2=
| πa2 |
| 6 |
∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=
| 3 |
∴
| S1 |
| S2 |
| ||
|
6
| ||
| π |
故答案为：
6
| ||
| π |
点评：本题给出正四面体，求它的表面积与其内切球表面积的比值，着重考查了正四面体的性质、球的表面积公式和多面体的外接、内切球算法等知识，属于中档题．
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