题目内容

定义域为R的函数y=f（x）满足：
①f(x+
π
2
)=-f(x)；
②函数在[
π
12
，
7π
12
]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
π
12
，
7π
12
]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
（1）求m的值；
（2）若f(
π
3
+x)=-f(
π
3
-x)，并且f(
π
4
sinx+
π
3
)＞0求满足条件的x的集合；
（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．
（1）∵f(x+
π
2
)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
而函数在[
π
12
，
7π
12
]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
π
12
，
7π
12
]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在[
π
12
，
7π
12
]上单调递增，而f(x+
π
2
)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(
π
3
+x)=-f(
π
3
-x)，∴f（x）的图象关于点（
π
3
，0）对称
∵f(
π
4
sinx+
π
3
)＞0
∴
π
3
+kπ＜
π
4
sinx+
π
3
＜
5π
6
+kπ，而
π
12
≤
π
4
sinx+
π
3
≤
7π
12

则
π
3
＜
π
4
sinx+
π
3
≤
7π
12

∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t2+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．
练习册系列答案
相关题目
已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（　　）
A、3
B、
1
3
C、2009
D、
1
2009
12、已知定义域为R的函数y=f（x），则下列命题：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1的对称；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；
③函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
④函数y=-f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于原点对称；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，则函数y=f（x）以4为周期．
其中真命题的有（　　）
对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=
f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg
f(x)，当x∈Df且x∉Dg
g(x)，当x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函数f（x）=
1
x-1
，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有f(x+2)=
2
f(x)，当x∈[0，2]时f(x)=sin(
π
2
x)，则方程f(x)-
x
=0，x∈[0，8]的根的个数为（　　）
定义域为R的函数y=f（x）的值域为[1，2]，则函数y=f（x+2）的值域为
[1，2]
[1，2]
．

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