Question

已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形∠BAD＝，PA⊥平面ABCD，点E在侧棱PC上．

(Ⅰ)求证：平面BED⊥平面PAC；

(Ⅱ)若E是PC的中点，且AB＝a，求E到平面PAB的距离；

(Ⅲ)若∠BED＝π－，且E是PC的中点，求二面角C－BE－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∵BD平面DBE，∴平面BDE⊥平面PAC． 　　(Ⅱ)设AC∩BD＝O，由E是PC的中点，∴EO∥PA，∴EO∥平面PAB，∴O到平面PAB的距离为E到平面PAB的距离，又平面PAB⊥平面ABCD于AB，作OF⊥AB于F，则OF⊥平面PAB，在△AOB中，∵AO＝，BO＝，AB＝a，∴OF＝．∴E到平面PAB的甲距离为． 　　(Ⅲ)作OH⊥BE于H，由(Ⅰ)知OC⊥平面BDE，∴OH为CH在平面BED内射影，由三垂线定理得CH⊥BE，即∠CHO是二面角C－BE－D的平面角，设AB＝1，则BO＝，BD＝，CO＝．由△PBC≌△PCD，得BE＝DE，在△BDE中，－2BE·ED·cos∠BED 　　∴BE＝ ∴EO＝．∴在Rt△BOE，OH＝ 　　∴tan∠CHO＝，∴∠CHO＝．