Question

【题目】已知函数.

（1）当，求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求的最小值；

（3）证明：当时，.

Answer 1

【答案】(1) 函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

(2) 的最小值为.

(3)证明见解析.

【解析】分析：函数的定义域为，

（1）函数，据此可知函数的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）由题意可知在上恒成立.据此讨论可得的最小值为.

（3）问题等价于.构造函数，则取最小值.

设，则.由于，据此可知题中的结论成立.

详解：函数的定义域为，

（1）函数，

当且时，；

当时，，

所以函数的单调递减区间是，

单调递增区间是

（2）因在上为减函数，

故在上恒成立.

所以当时，，

又，

故当，即时，.

所以，于是，

故的最小值为.

（3）问题等价于.

令，则，

当时，取最小值.

设，则，

知在上单调递增，在上单调递减.

∴.

∵，

∴，

∴

故当时，.