题目内容

若a＞0，b＞0，且a+b=1，则(a+
1
a
)•(b+
1
b
)的最小值是（　　）
分析：把所求式子运算，然后利用a+b=1两边平方后代换部分式子，最后整理成ab+
2
ab
-2，再换元t=ab，T=t+
2
t
-2，利用导数证明函数在t∈(0，
1
4
]为减函数，从而求得最小值，即为所求．
解答：解：由题意知：T=(a+
1
a
)•(b+
1
b
)=ab+
b
a
+
a
b
+
1
ab
=
a2b2+b2 +a2+1
ab
，
若a＞0，b＞0，且a+b=1，又a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab，
所以
a2b2+b2 +a2+1
ab
=
a2b2 -2ab+2
ab
=ab+
2
ab
-2，
令t=ab，因为a＞0，b＞0，1=a+b≥2
ab
，所以
ab
≤
1
2
，即0＜t≤
1
4
，
T=t+
2
t
-2，则当0＜t≤
1
4
，T′=1-
2
t2
＜0，所以T=t+
2
t
-2在t∈(0，
1
4
]是减函数，
所以T=t+
2
t
-2的最小值为T=
1
4
+
2
1
4
-2=
25
4
，
所以当a＞0，b＞0，且a+b=1，则(a+
1
a
)•(b+
1
b
)的最小值是
25
4
，
故选B．
点评：本题考查求分式的最值问题，通过换元把多变量转化为单变量的函数求最值问题，用到了用导数求函数单调性，本题的易错点是没有意识到基本不等式成立的条件“三相等”不具备，而错误利用基本不等式求最值，求最值是本题的易错点．
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若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）
A、2B、3C、6D、9
若a＞0，b＞0，且函数f（x）=
8
3
x3-ax2-2bx+1在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）
若a＞0，b＞0，且a+b=1．求证：
（Ⅰ）ab≤
1
4
；     
（Ⅱ）
4
3
≤
1
a+1
+
1
b+1
＜
3
2
．
若a＞0，b＞0，且4a+b=1，则
1
a
+
4
b
的最小值是
16
16
．
（2013•徐州三模）若a＞0，b＞0，且
1
2a+b
+
1
b+1
=1，则a+2b的最小值为
2
3
+1
2
2
3
+1
2
．

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