Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分别是PC．PD的中点，PA=AB=1，BC=2．
（I）求证：EF∥平面PAB；
（II）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可求出直线EF，AB的方向向量，利用向量法，可证EF∥AB，进而线面平行的判定定理，得到答案．
（II）根据（I）中各向量的坐标，我们易得到

AP

•

DC

=0，

DC

•

AD

=0，即AP⊥DC，AD⊥DC，根据线面垂直的判定定理，我们可以得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAD⊥平面PDC；
（III）分别求出平面APD与平面BPD的法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）
∴E=（

1

2

，1，

1

2

），F（0，1，

1

2

），
∴

EF

=（-

1

2

，0，0），

PB

=（1，0，-1），

PD

=（0，2，-1），

AP

=（0，0，1），

AD

=（0，2，0），

DC

=（1，0，0），

AB

=（1，0，0），
（Ⅰ）∵

EF

=（-

1

2

，0，0），

AB

=（1，0，0），
∴

EF

∥

AB

∴EF∥AB，
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（Ⅱ）∵

AP

•

DC

=（1，0，0）•（0，0，1）=0，

DC

•

AD

=（0，2，0）•（1，0，0）=0，
∴

AP

⊥

DC

，

DC

⊥

AD

，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴DC⊥平面PAD．∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（Ⅲ）设平面PBD的一个法向量

n

=(x，y，z)，则
∴

n • PB =0 n • PD =0

，即

x-z=0 2y-z=0

，解得平面APC的一个法向量

n

=(2，1，2)．
而平面APD的一个法向量是

DC

=（1，0，0），设二面角A-PD-B为θ，
则cosθ=

n • DC

| n |•| DC |

=

2

3

．
即二面角A-PD-B的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面觚 平面角及其求法，其中利用向量法，可以降低本题的难度，但要选择合适的原点，建立恰当的坐标系．